3.2. Формирование контура тонкого слоя

3.2. Формирование контура тонкого слоя

3.2.1. Общие положения

Излучение ансамбля атомов можно в общем случае представить как случайный процесс f(t) с функцией корреляции

. (3.12)

Тогда спектр мощности сигнала или контур φ(ω) представляет собой квадрат модуля Фурье-образа f(t) или Фурье-образ функции корреляции Г(τ) [8,9]. Для квазимонохроматических сигналов, которые можно представить как осцилляции с частотой ω₀, соответствующей центру линии излучения изолированного атома, и случайными амплитудами и фазами, но изменяющимися значительно медленнее, чем эти осцилляции, Г(τ) имеет вид Г(τ) = Ф(τ) еxp(iω_0τ); кроме того, учитывая, что Г^*(τ) = Г(-τ) (непосредственно следует из (3.12)), получим:

(3.13)

Столь общая форма представления φ(ω), вообще говоря, не дает рецепта решения задачи и в некоторых случаях, как будет показано ниже, непосредственный расчет φ(ω) выполнить значительно проще, чем найти Г(τ). Тем не менее, из (3.13) следует важный вывод: если на формирование контура влияет ряд независимых процессов, каждый из которых в отдельности порождает случайные функции f₁(t), f₂(t), ... f_k(t), то Ф(τ) может быть представлена как произведение Ф₁(τ), Ф₂(τ), ... Ф_k(τ), что непосредственно следует из определения Г(τ), а, следовательно, контур тонкого слоя φ(ω) представляет собой свертку контуров, порождаемых каждым процессом в отдельности.

Это позволяет разбить задачу построения φ(ω) на более частные задачи. Как правило, независимыми можно считать 3 класса процессов:

1) естественное уширение - φ_r(ω);

2) допплеровское уширение - φ_D(ω);

3) эффект давления, т.е. уширение из-за взаимодействия атомов с окружающими частицами - φ_p(ω).

Следует отметить, что существуют некоторые ограничения на независимость контуров φ_D(ω) и φ_p(ω), которые будут указаны ниже, в то же время среди эффектов давления вполне естественно считать независимыми взаимодействие с возмущающими частицами разного сорта (электроны, атомы различных элементов, в некоторых случаях - ионы).

3.2.2. Естественное уширение

В задачах диагностики оно практического значения не имеет, т.к. определяется не параметрами плазмы, а свойствами атома. Тем не менее, надо уметь оценивать его вклад в полную ширину контура φ(ω).

, (3.14)

где

, (3.15)

- сумма вероятностей спонтанных переходов с уровня i(k) на всевозможные уровни l. Как правило, с действием других уширяющих факторов этот процесс может конкурировать только для очень короткоживущих, например, автоионизационных, состояний.

3.2.3. Доплеровское уширение

Распределение частот в контуре линии, обусловленном движением атомов, определяется распределением плотности вероятностей Р проекций скорости атомов (V) на направление наблюдения y:

φ_D(ω)dω = P(V_y)dV_y. (3.16)

В случае максвелловского изотропного распределения атомов по скоростям

, (3.17)

, (3.18)

где c - скорость света, М - масса атома, χ - постоянная Больцмана, Т - атомная температура, δω_D - ширина контура, т.е. расстояние между точками слева и справа от ω₀, в которых φ_D(ω) = φ_D(ω₀)/2.

Следует отметить, что если выражать контуры в функции от λ, то т.к. δω/ω = δλ/λ, для ширины линии в длинах волн получится аналогичное (3.18) выражение, в котором ω₀ заменено на λ₀.

При отклонениях от максвелловского распределения по скоростям, в частности, при наличии преимущественных направлений движения частиц (cм., например, [10]), справедливым остается лишь равенство (3.16).

Если доплеровское уширение не маскируется более мощными эффектами давления, то измерение ширины доплеровского контура служит надежным средством определения атомной температуры. Hезависимость доплеровского уширения от эффектов давления сохраняется до тех пор, пока длина свободного пробега излучающего атома относительно столкновений, изменяющих направление его движения, остается много больше длины волны [8]. В противном случае неопределенность энергии состояний с постоянной компонентой скорости из-за его малой продолжительности слишком велика, чтобы можно было использовать (3.16).

Но при таких больших плотностях возмущающих частиц главная роль в формировании контура принадлежит уже эффектам давления, которые будут рассмотрены ниже.

В заключение данного раздела отметим, что для диагностики плазмы может быть использовано также доплеровское уширение линий рассеяния. В частности, контур линии рассеяния на свободных электронах описывается формулами (3.16)-(3.18), где в качестве V фигурирует проекция скорости электрона на разность волновых векторов падающего и рассеянного излучения, а m - масса электрона, Т - электронная температура. Тогда

, (3.19)

где θ - угол между направлением облучения плазмы и направлением наблюдения рассеяния. Такое рассеяние может наблюдаться при условии [1]:

, (3.20)

(где λ - длина волны облучающего света, r_D - дебаевский радиус) и может служить эффективным средством оценки электронной температуры.

Подробнее

Доплеровский контур рассеяния может быть использован и для исследования пылевых частиц в плазме и кластеров, содержащих десятки тысяч атомов [11], [67]; правда, в этом случае, как видно из (3.19), ожидаемые ширины линий составляют в зависимости от массы частицы от единиц до сотен мегагерц, т.е. доступны для исследования только методами спектроскопии сверхвысокого разрешения

3.2.4. Эффекты давления. Используемые приближения

Общая теория формирования контура тонкого слоя основана на квантовомеханическом описании переходов между состоянием сложной системы, которая включает излучающий атом и окружающие его движущиеся возмущающие частицы. Поскольку практическое значение для диагностики имеют достаточно яркие линии, то рассматриваются линии, для которых дипольный переход между состояниями этой сложной системы разрешен. В качестве функции f(t), описывающей поле излучения, должен быть взят матричный элемент D_αβ(t) дипольного момента атома, вычисленный с помощью волновых функций системы Ψ_α(t) и Ψ_β(t), которые обычно рассматриваются как решения уравнения Шредингера для гамильтониана H = H₀ + V(t), где H₀ - гамильтониан изолированного атома, а V(t) - оператор возмущения, определяемый сортом, пространственным расположением и скоростями возмущающих частиц.

Конкретные, пригодные для диагностических целей результаты получаются из общей теории только в рамках некоторых предположений и допущений, а общая теория используется для определения границ их применимости и оценки эффектов, возникающих при нарушении этих условий. Разумеется, эти упрощения могут быть различны для разных сортов уширяющих атомов и разных условий в плазме.

Общим для всех случаев является лишь квазиклассическое приближение, при котором излучающий атом описывается квантовомеханически, а возмущающие частицы классически, т.е. предполагается, что они имеют траектории. В большинстве конкретных случаев применимо также бинарное приближение, т.е. предположение о том, что в каждый данный момент излучающий атом испытывает влияние только одной ближайшей частицы.

Для получения конкретных результатов необходимо сделать предположение о виде потенциала возмущения V(t), а также о характере его зависимости от времени. Именно в этом направлении идет основная работа в теории формирования контура [13,14], однако достаточно эффективными оказалось рассмотрение двух предельных случаев: быстрых пролетов возмущающих частиц по прямолинейным траекториям на прицельном расстоянии ρ с усреднением результатов взаимодействия по ρ (ударное приближение) и усреднение по расстояниям R cдвигов энергетических уровней атома, вызываемых неподвижными частицами, находящимися на расстоянии R от излучающей частицы (статическое приближение).

Показано, что центральная часть контура всегда может быть описана в ударном приближении, а "крылья", начиная с некоторой "граничной" частоты Ω = ω-ω₀ - в статическом приближении. Общая теория, которая позволяет осуществить плавную "сшивку" ударного и статического контура развивалась в ряде работ [15,16]. В большинстве практически важных случаев точный вид профиля переходной области не очень важен, т.к. в эксперименте, как правило, наблюдается либо ударный центр линии (в оптически тонких плазмах), либо проявляется ход φ(ω) в далеких крыльях (в оптически плотной неоднородной плазме).

Бинарное приближение неприменимо в случае уширения линий при взаимодействии с заряженными частицами, если на этих линиях проявляется линейный эффект Штарка.

3.2.5. Штарковское уширение линий водорода и водородоподобных ионов

Теория уширения линий для атомов, испытывающих линейный эффект Штарка, (сдвиг и расщепление энергетических уровней, линейно зависящиe от напряженности электрического поля, в котором находится атом) - это наиболее разработанная и многократно проверенная экспериментально часть теории формирования контуров тонкого слоя. Подробное изложение теории можно найти в монографиях [4], [8],[17,18]. Hо самое важное, что имеются таблицы [9] и графики [17] профилей линий водорода и ионизованного гелия, построенные в относительных координатах α = 8.013 × 10⁹ (λ-λ₀) N_i^-2/3, где λ выражено в нанометрах, а N_i - концентрация ионов в плазме - в см^-3. Контур симметричен относительно центра линии λ₀.

Эти графики и таблицы приведены для различных концентраций заряженных частиц и температур, так что в случае, если контур тонкого слоя непосредственно доступен наблюдению, диагностика может быть выполнена путем прямого совмещения экспериментального и расчетного профилей. Для оценки ожидаемой штарковской ширины водородных линий можно пользоваться приближенной формулой [17]:

δω = 12.5 (n² - n₁²) N_i^2/3, (3.21)

N_i - в см^-3; n, n₁ - главные квантовые числа верхнего и нижнего уровней для данной линии. Условия применимости методики ограничены снизу значениями N_i, при которых штарковское расщепление линий меньше тонкого расщепления (при этих концентрациях линейный эффект Штарка переходит в квадратичный). Сверху применимость модели ограничена значениями N_i, при которых штарковское расщепление больше расстояния между уровнями с различными n. Реально это область концентраций 10¹⁴-10¹⁹ см^-3 и температур 5 × 10³ - 4 ×10⁴ К. Доплеровским уширением в этих условиях, как правило, можно пренебречь.

Теория уширения линий в результате линейного Штарк-эффекта продолжает интенсивно развиваться. Уточнения, в основном, касаются линий, соединяющих высоковозбужденные уровни и концентраций электронов, лежащих на границах области применимости теории.

В частности, в работе [74] приводятся в безразмерных координатах профили линий, отвечающие переходам n → n-1 и n → n-2. Уточненные значения ширин линий, отвечающих переходам с уровней n = 8÷13 на n = 2, 3 приведены в работе [75].

Следует иметь в виду, что если в плазме имеются осциллирующие электрические поля, связанные с внешним мощным лазерным или СВЧ-облучением или с турбулентностью плазмы, напряженностью порядка нескольких кВ/см, то их влияние на контуры линий может существенно превосходить Штарк-эффект в поле электронов и ионов. Действие таких полей проявляется в ярко выраженной структуре на контуре линии: возникновении провалов и максимумов, появлении сателлитов вблизи контура невозмущенной линии. В полях, слабых по сравнению со средним полем, создаваемым ионами, структура может не проявиться, однако может привести к ошибкам при определении концентрации электронов по контуру. К счастью, эффекты, связанные с такими полями, в отличие от действия заряженных частиц плазмы существенно зависят от угла между направлением напряженности поля и поляризации излучения. Развитие методов диагностики внутриплазменных полей составляет отдельную область физики и диагностики плазмы.

Слабые поля порядка нескольких вольт на см., характерные для плазмы дугового и тлеющего разряда, в принципе могут быть измерены по расщеплению очень высоких уровней (для инертных газов, например, n>20) Эти уровни водородоподобны, и тем чувствительнее к электрическому полю, чем больше n. Уровни накачиваются перестраиваемым лазеров с короткой длиной волны (полученной умножением частоты генерации мощного эксимерного лазера). Спектр поглощения регистрируется путем наблюдения оптогальванического эффекта (изменение тока разряда при увеличении заселенности высокого уровня из-за увеличения частоты ионизации с него) Структура спектра характеризует штарковское расщепление уровня и, следовательно, напряженность поля. [20,21], [76]

3.2.6. Уширение линии из-за квадратичного Штарк-эффекта

Теория такого уширения также достаточно полно разработана [8-9], [17-18]. Центральная часть контура рассчитывается в ударном приближении. Она формируется, в основном, из-за столкновений с электронами, которые вызывают как адиабатическое смещение атомных уровней, так и переходы между ними. Форма контура имеет дисперсионный вид:

. (3.22)

Значения w и Δ пропорциональны концентрации электронов. Для многих атомных линий значения w/2 и Δ (в ангстремах) для концентрации электронов N = 10¹⁶ см^-3 и различных электронных температур табулированы в [4], [9], [18] или представлены в виде зависимостей от эффективного главного квантового числа уровней и электронной температуры [22].

Приближенную оценку ожидаемых штарковской ширины w и сдвига δ можно получить по формулам:

w = 11.4 C₄^2/3 V^1/3 N_{е λ}²/(2πc), Δ = w/1.15, (3.23)

где N_е - концентрация электронов (см^-3), V - средняя скорость электронов (cм/c), С₄ - константа квадратичного Штарк-эффекта (в (3.23) w, λ и Δ - в см).

Для оценки С₄ можно использовать приближенное выражение [17]:

(3.24)

(формула в системе CGSE, С₄ - в см⁴ c^-1); здесь e, m - заряд и масса электрона, f, ω - соответственно сила осциллятора и частота перехода с верхнего уровня изучаемой линии на ближайший к нему уровень, на который возможен дипольный переход. Если нет справочных данных [4-6] для величины f, то ее можно оценить приближенно [23], а для грубой оценки положить равной 1.

Более точная оценка w получится, если учесть в С₄ несколько ближайших возмущающих уровней, а также внести поправку на неадиабатичность столкновений с электронами, соответствующие поправочные коэффициенты можно найти в [17].

Вклад ионов в ударную ширину невелик, т.к. их средние скорости существенно меньше, но, в целом, ионы влияют на форму контура, т.к. дают значительный вклад в статическое крыло.

В статическом приближении, которое справедливо, когда ω-ω₀ << Ω = V_i^4/3 C₄^-1/3 (V_i - cредняя скорость ионов), распределение интенсивности в линии определяется сдвигом частоты δω, который порождает возмущающая частица, находящаяся на расстоянии R от излучающей, и вероятностью W(R)dR того, что ближайшая частица находится на расстоянии от R до R + dR.

В этом случае

δω = С₄/R⁴, (3.25)

причем знак сдвига определяется знаком С₄, который, в свою очередь, будет положительным, если возмущающий уровень лежит выше излучающего и наоборот, а

W(R)dR = 4πR² N exp(-4/3π R³N)dR. (3.26)

(Предполагается, что N = N_i = N_е). Поскольку бинарное приближение предполагает, что среднее расстояние между частицами (N^-1/3) много больше расстояния сближения частиц, которое может внести вклад в формирование контура, экспоненту в (3.26) обычно полагают равной 1. Однако в некоторых случаях не следует забывать о ее существовании.

Полагая, что

φ(ω)dω = W(R)dR, (3.27)

и выражая R и dR/dω через δω = ω-ω₀ с использованием (3.26), получаем форму статического контура, обусловленного влиянием ионов на линию с квадратичным Штарк-эффектом:

(3.28)

или

. (3.29)

В формулах (3.28, 3.29) N - в см^-3, С₄ - в см⁴ c^-1, с - скорость света в см/с, δλ = λ-λ₀ - в см.

Одновременное действие электронов и ионов можно учесть, построив φ(λ) как свертку контуров, даваемых формулами (3.22) и (3.29) (при этом экспоненциальный сомножитель должен быть учтен).

Условия применимости изложенной в этом разделе модели формирования контура заключаются в том, что штарковский сдвиг должен быть меньше, чем расстояние между компонентами тонкой структуры уровня с данными значениями квантовых чисел n и l; практически это означает, что штарковски уширенные линии мультиплетов не должны перекрываться. Hижняя граница применимости модели определятся возможностью выделить штарковское уширение на фоне других уширяющих факторов: допплеровского уширения и влияния нейтральных частиц, которое рассматривается в следующих разделах.