3.3. Спектроскопические характеристики плазмы. Модели источника

3.3.1. Контур линии излучения

Спектральная энергетическая яркость поверхности источника b(λ) в направлении наблюдения y, перпендикулярном к поверхности источника, может быть представлена как интеграл вдоль оси y от мощности излучения элементарных объемов в малый телесный угол, отнесенный к величине этого угла, в предположении, что излучение элементарного объема изотропно во всех направлениях и при распространении от каждой точки источника до его поверхности испытывает поглощениe:

 

. (3.42)

Здесь y0 - размер источника вдоль направления наблюдения (во всех экспериментах предполагается известной величиной), i, Kλ, φ определяются формулами (3.1), (3.3), (3.7) для элементарного объема с координатой y.

Измерение яркости

3.3.2. Оптическая толщина

Просветим плазму в направлении y монохроматическим излучением мощностью P0(λ). Hа выходе мощность излучения будет ослаблена поглощением. Используя определение (3.5), в котором положим, что P(λ) и k(λ) являются функциями y, и граничное условиe P(λ, 0) = P0(λ), получим:

. (3.43)

Интеграл в показателе экспоненты называют оптической толщиной плазмы τ(λ).

3.3.3. Однородный источник

В частном случае однородного источника (т.е. в предположении, что i, Kλ и φ(λ) не зависят от y), получим из (3.42) с учетом (3.3):

 

b(λ) = {ε(λ)/k(λ)} × {1 - exp(-k(λ)y0)}. (3.44)

Только в случае однородного источника форма контура оптической толщины совпадает с формой контура коэффициента поглощения.

Учитывая, что формы контуров ε(λ) и k(λ) совпадают (в пренебрежении индуцированным излучением) и подставляя i и Kλ из (3.1) и (3.7), имеем:

 

(3.45)

 

(3.46)

Коэффициент B - это яркость поверхности абсолютно черного тела с температурой "заселения" уровней j и k, (так называют температуру, которая получится из формулы Больцмана (2.1), если в нее подставить концентрации и статвеса верхнего и нижнего уровней для данной линии).

При больших значениях k(λ)y0, как видно из (3.45), b(λ) постоянно и равно В (эту величину называют "планковский предел"). Hо в далеких крыльях линии всегда найдется значение λ, для которого k(λ)y0 << 1, тогда

 

b(λ) = B Kλ φ(λ) y0 = ε(λ) y0 (3.47)

Это же равенство справедливо для всей спектральной линии, если коэффициент поглощения в центре (λ0) ее удовлетворяет условию k(λ0)y0 << 1. Тогда плазма по отношению к данной линии называется "оптически тонкой".

В том случае, когда нас интересует не абсолютное значение b(λ), а только зависимость яркости от длины волны (частоты), функцию, определяемую равенствами (3.42)-(3.44), (3.47) и нормированную на единицу по площади или по максимуму, называют "контуром линии излучения". Видно, что только в случае однородной оптически тонкой плазмы контур линии излучения совпадает с контуром спонтанного излучения тонкого слоя и может быть использован для диагностики (то же относится и к спектральному распределению излучения в сплошном спектре).

Интегральная интенсивность линии (2.1) в этом случае может быть использована для определения заселенности верхних уровней исследуемого перехода. Интегрируя (3.47) по λ в пределах контура линии, имеем:

. (3.48)

Практически идеально однородных источников не бывает, однако такая модель может быть применена для космической плазмы, плазмы слаботочного тлеющего разряда при наблюдении вдоль его оси, а иногда и для сильно неоднородных источников, но для линий, соединяющих высоковожбужденные уровни. Hапример, предположим, что осесимметричная плазма находится в состоянии термодинамического равновесия с температурным ходом T = T0 - (T0 - Tw)(r/r0)q, где r - расстояние от центра разряда, r0 - радиус границы плазмы, T0 - температура на оси, Tw - температура на границе.

Положим T0 = 4000 К, Tw = 1000 К, а q = 2 (на самом деле эта степень, как правило, больше).

Рассмотрим линию, подверженную резонансному уширению при концентрации нормальных атомов на оси 1018 см-3 и имеющую потенциал возбуждения верхнего уровня Е = 8.8 эВ (конкретно, это линия ртути 577 нм).

Hа расстоянии r = 0.3r0 температура будет отличаться от осевой на 10%, на столько же будет отличаться концентрация ртути и ширина контура γ, а заселенность верхнего уровня уменьшится при этом почти в 12 раз. Следовательно, вкладом слоев с изменившейся шириной можно практически пренебречь и зарегистрированный контур b(λ) можно интерпретировать как контур тонкого слоя с параметрами, определяемыми состоянием плазмы на оси разряда (разумеется, оценки "крутизны" спада излучения, а также возможности пренебречь поглощением должны быть сделаны).

Для однородного источника с заметным поглощением (не оптически тонкого) по измеренной оптической толщине

τ(λ) = к(λ)y0 (3.49)

может быть определен коэффициент поглощения к(λ) для различных длин волн внутри контура, что позволяет: во-первых, использовать для диагностики форму контура τ(λ), нормировав его по площади или на максимум; во-вторых, проинтегрировав к(λ) в пределах контура, вычислить Kλ и найти заселенность нижнего уровня согласно (3.7); в-третьих, если измерено еще и b(λ), то определить заселенность верхнего уровня, вычислив по (3.44) ε(λ), проинтегрировав ε(λ) и найдя отсюда i и Nj cогласно (3.1), (3.3).

Измерение оптической толщины

3.3.4. Оптически тонкая неоднородная плазма

В общем случае неоднородной оптически тонкой плазмы распределение коэффициентов излучения ε(λ, x, y, z) или коэффициентов поглощения k(λ, x, y, z) по объему излучающей среды может быть получено методами томографии [28,29]. Для этого необходимо зарегистрировать несколько двумерных проекций излучающего объема в свете определенной длины волны (частоты) в интервале длин волн, много меньшем, чем ширина исследуемой линии. Путем соответствующей математической обработки полученного массива яркостей поверхности источника в различных спектральных и пространственных точках, в принципе, можно с некоторой точностью восстановить объемное распределение ε(λ, x, y, z).

К счастью, довольно часто встречаются плазменные объекты, обладающие осевой симметрией, в этом случае достаточно одной проекции, а чтобы получить распределение коэффициентов излучения в одном сечении ε (λ, r) (r - расстояние от оси объекта, r0 - его радиус) достаточно зарегистрировать одномерное распределение яркости поверхности:

 

(3.50)

Это интегральное уравнение Абеля [18], математическое решение которого хорошо известно:

(3.51)

и представляет собой типичную "некорректную" задачу [30], для решения которой предложены различные алгоритмы [31], [72].

О технике таких экспериментов и методах обработки их результатов будет сказано ниже.

3.3.5. Оптически плотная неоднородная плазма

В общем случае контур линии излучения описывается формулой (3.42).

Просвечивая плазму в различных направлениях монохроматическим излучением или выделяя узкие спектральные интервалы спектральным прибором, можно получить массив значений оптической толщины в раличных спектральных и пространственных точках и восстановить объемное распределение к(λ, x, y, z) аналогично восстановлению ε(λ, x, y, z) по массиву яркостей методами томографии или, в частном случае, путем решения уравнения Абеля. Эти данные как и в случае однородного источника можно использовать для диагностики по форме контура, для получения пространственного распределения концентрации атомов на нижнем уровне перехода и, вообще говоря, если зарегистрирован также двумерный массив яркостей, то, подставив полученные значения к(λ, x, y, z) в систему уравнений типа (3.42) для разных точек поверхности плазмы, восстановить массив ε(λ, x, y, z) и по нему найти распределения концентрации атомов на верхнем уровне перехода. Однако часто для диагностики используют форму контура (3.42) для одной или небольшого числа пространственных точек. Естественно, при этом делаются достаточно "сильные" предположения о модели источника.

Ниже будет показано, что если оптическая толщина в центре линии τ(λ0) достаточно велика и коэффициент поглощения возрастает от центра к краю источника, линия излучения самообращена, т.е. спектральная яркость в ее центре меньше, чем в некоторых точках на крыльях - "пиках самообращения".

Самообращенные линии давно используются для целей диагностики неоднородной плотной плазмы. Основы таких методов были заложены в середине столетия; в нашей стране эти работы стимулировались появлением книги H.Г. Преображенского [32]. Работы, использующие отраженные в ней идеи, можно найти, например, в сборниках [33, 34]; видно, что эти идеи не утратили своей актуальности и в последнее время (см., например, [35, 36], [78]).

Как правило, используемые в упомянутых работах приемы диагностики основаны на моделировании функции источника. При этом рассматривается осесимметричный источник, каждая точка которого характеризуется определенной концентрацией излучающих данную линию атомов Nj(r), определенной концентрацией поглощающих атомов Nk(r) и определенной формой контура линии спонтанного излучения φ(λ, r), совпадающего с контуром коэффициента поглощения.

Перенося начало отсчета в формуле (3.42) в центр источника и используя понятие оптической толщины для данной точки источника с координатой L:

 

, (3.52)

можно преобразовать формулу (3.42) к виду:

 

. . (3.53)

Здесь τ0(λ) = τ(λy0); i0, K0 - интегралы от i (3.1) и Kλ, (3.7) - по лучу зрения, y0 - координата границы источника, ξ - оптическая координата:

 

, (3.54)

S(ξ) - функция источника, которая отражает пространственное распределение излучающих и поглощающих атомов по радиусу источника и не зависит от длины волны.

Таким образом, контур линии может быть представлен произведением константы и функции , причем зависимость b(λ) определяется видом функции и зависимостью τ 0(λ). Форма Y(τ0) определяется только формой функции источника, в частности, для однородного источника S(ξ) = const, для предельно неоднородного S(ξ) = δξ (см. рис 3.2).

 

Рис. 3.2. Формирование самообращенного

контура для неоднородного источника

Приемы диагностики основываются на задании модели S(ξ), зависящей от одного "параметра неоднородности", реже - от нескольких параметров. Для определения параметров функции источника надо привлекать априорную информацию о распределении величины Nl, Nk, о форме контуров линий φ(λ, l); можно также использовать дополнительные эксперименты (например, просвечивание источника и определение оптической толщины в пике самообращения).

Можно, наконец, подобрать параметры, определяющие S(ξ) до наилучшего совпадения экспериментального и рассчитанного контуров.

Однако подбор параметров, не связанных непосредственно с физическими характеристиками источника, дает возможность только найти и по известному b(τ) найти кривую τ0(λ), что еще не решает в общем случае задачу диагностики.

Правда, проделав эту операцию для хорд, проходящих на разном расстоянии от оси источника, теоретически можно найти распределения Kλ(λ, L) путем преобразования Абеля, но, учитывая неизбежные погрешности измерений, решение этой обратной задачи вряд ли будет устойчиво. Следует отметить, что при применении данной модели используется универсальность для всего контура, в частности, то обстоятельство, что при данном параметре неоднородности имеет максимум определенной величины при определенном значении τ0 [35].

Рис. 3.3. Источник с излучающим

и поглощающим слоями

Однако представление об универсальности для всего контура - иллюзия. Это подтверждается тем экспериментальным фактом, что самообращенные контура часто имеют пики самообращения разной высоты [36]. Объяснить этот факт можно на простой модели источника радиуса R, (рис. 3.3), состоящего из однородного излучающего слоя в центре радиусом r1 и поглощающей оболочки. В этом случае S(ξ) = const внутри r1(ξ ≤ ξ0), S(ξ) = 0 (ξ > ξ0). Согласно (3.54) граничное значение оптической координаты ξ0 зависит от формы контура.

, (3.55)

где индекс 1 относится к излучающему слою, а 2 - к поглощающему.

Таким образом, Y зависит не только от τ0(λ), но и от значения ξ0, которое, вообще говоря, может быть различным для "синего" и "красного" крыльев линии.

Поскольку практическое применение описанного выше моделирования источника все равно требует привлечения априорной информации об объекте исследования (предполагаемой или полученной в дополнительных экспериментах), в последнее время все чаще используется более непосредственный путь моделирования. А именно, формулируется физическая модель плазмы, например, модель локального термодинамического равновесия (ЛТР) с рядом параметров, определяющих состояние среды в источнике и влияние этой среды на излучательные характеристики. Далее рассчитывается спектр излучения источника, сопоставляется с экспериментом и находятся параметры объекта, обеспечивающие наилучшее согласие. Например, в работе [37] путем сопоставления расчетных и экспериментальных спектров плотной алюминиевой плазмы в широком спектральном диапазоне (350-750 нм) оценены электронная концентрация и температура плазмы. Авторы учли 40 спектральных линий и тормозное и рекомбинационное излучение. Hесмотря на то, что местами расхождение расчетного и экспериментального спектра достигает 50% и расчетный спектр сильно сглажен по сравнению с экспериментальным, авторы считают такое сопоставление мощным средством диагностики.

В работе [36] путем сравнения характерных параметров расчетных и экспериментальных самообращенных контуров (положения и высоты пиков самообращения, полуширина линии) определены параметры моделей, описывающих пространственное распределение излучающих и поглощающих атомов, а также электронов в плотной алюминиевой плазме.

Однако вычислительные средства дают возможность строить модели и выполнять расчет контура, добиваясь полного совмещения его с экспериментальным.

В работе [38] авторы исследовали закрытую дугу в парах ртути при давлении несколько атмосфер, сопоставляя расчетные и экспериментальные контуры линий ртути 546 и 577 нм. Предполагалось, что плазма находится в состоянии ЛТР, а линии уширены за счет штарковского, ван-дер-ваальсовского и резонансного взаимодействия. Для линии 546 нм, которая была самообращенной, параметрами модели были: температура центра разряда, параметр, определяющий радиальный ход температуры, давление газа, ван-дер-ваальсовская константа С6 (штарковское уширение для этой линии считалось пренебрежимо малым). Авторы приводят значения параметров, определенные путем подбора их значений до наилучшего совпадения расчетного и экспериментального контуров.

Hами уже давно используются методы диагностики, основанные на непосредственном совмещении рассчитанного и смоделированного контура (с учетом аппаратных искажений). В частности, в работе [39] при четырех параметрах модели (оптическая толщина по лучу зрения, атомная температура, коэффициент отражения зеркал интерферометра и лоренцовская ширина) получены прекрасные совпадения расчетных и экспериментальных контуров линии ртути со сложной изотопной структурой. Однако в этом случае источник (высокочастотный безэлектродный разряд) считался однородным.

В 1995 г. версия программы [40] начала применяться для моделирования контуров линий малой примеси в дуге высокого давления в парах основной компоненты, в частности, линий таллия λ = 535 нм (переход 72S1/2 - 62P3/2) и 377 нм (переход 72S1/2 - 62P1/2). Cмоделированные контура сравнивались с экспериментальными. Оказалось, что если один контур удается совместить с расчетным в рамках модели ЛТР, подобрав параметры модели, определяющие радиальный ход температуры, то контура других линий или той же линии, но зарегистрированные при другом направлении наблюдения, совершенно не совпадают с расчетными при тех же параметрах модели. Высокая информативность массива самообращенных контуров позволяет определить по ним большое число параметров, описывающих как пространственные распределения компонент плазмы, так и параметры контура тонкого слоя [41], [68].

3.3.6. Плазма с конденсированной дисперсной фазой (КДФ)

Оптимальным методом использования контуров линий для диагностики плазмы с КДФ, интерес к которой сейчас заметно усилился [11], так же как и в случае с "чистой" плазмой остается сопоставление рассчитанных и экспериментальных контуров. Однако построить адекватную физическую модель среды в этом случае еще труднее. Требуется учесть как влияние КДФ на состояние компонент плазмы, участвующих в формировании контура тонкого слоя, так и влияние КДФ на выход излучения из плазмы. Последний вопрос достаточно подробно рассмотрен в обзоре [42], где, в частности, показано, что рассеяние излучения на частицах, во-первых, искажает форму линии, т.к. удлиняет путь фотона в плазме по сравнению с геометрической длинной этого пути в отсутствии частиц, и, во-вторых, препятствует корректному применению методов локальной спектроскопии, т.к. рассеянные фотоны поступают в приемник не из той точки плазмы, где они зародились.

Если атомы поступают в плазму в результате испарения с поверхности капель, то контур линии излучения формируется в оптически плотном паровом слое вокруг капли и форма его зависит от параметров этого слоя. В работе [43] предлагается путем сравнения рассчитанных и экспериментальных контуров определять плотность атомов у поверхности капли и отношения радиуса паровой оболочки к радиусу капли. Очевидные трудности в моделировании контура ожидают исследователя плазмы, в котором со сравнимой интенсивностью излучают как свободные атомы, так и атомы вблизи поверхности КДФ.